RAZONES Y PROPORCIONES

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RAZONES

RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.

RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.).

Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división ().

Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 84, y se lee, ocho es a cuatro.

Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:

1. Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
3. Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:

1. Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2. Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3. Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

EJERCICIOS

(En los ejercicios siguientes, cuando se diga simplemente razón o relación, se entenderá que la razón pedida es geométrica).

1. Cite dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica sea .
2. Hallar la razón aritmética y geométrica de :
3. a) 60 y 12. R. 48; 5. c) 5.6 y 3.5 R. 2.1; .

   b) y . R. ; . d) y 0. 02. R- 0.355; .

4. Hallar la relación entre las edades de dos niños 10 y 14 años. R. .
5. Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.
6. Cite tres pares de números cuya razón sea ; tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.
7. La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿ cuál es el mayor? R. 24.
8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos de 5 a 7. Hallar el número menor. R 30.
9. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? R. 119.

PROPORCIONES ARITMÉTICAS.

EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.

Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:

a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA

Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.

Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.

CLASES DE EQUIDIFERENCIAS

Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 – 6 y equidiferencia contínua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS

TEOREMA

En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a + d = c + b.

En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a- - b = c – d un extremo y un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d y simplificando, queda a + d = c + b que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7 tenemos: 8 + 7 = 9 + 6 o sea 15 = 15.

COROLARIOS

De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:

1. En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.
2. Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a = b + c – d.

   En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental, que: a + d = b + c.

   Restando d a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando a = b + c – d.

   EJEMPLO

   En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.

3. En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.

Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que b = a + d – c.

En efecto: ya sabemos que a + d = b + c.

Restando c a los dos miembros, tendremos: a + b – c = b + c – c y simplificando b = a + d – c.

EJEMPLO

En 11 – 7 = 9 – 5 tenemos que 7 = 11 + 5 – 9.

MEDIA DIFERENCIA O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencial es 6.

TEOREMA

La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.

Sea la equidiferencia a – b = b – c. Vamos a demostrar que =

En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea a + c = 2b.

Dividiendo ambos miembros por 2 queda: = o sea = b que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En 12 – 9 = 9 – 6 tenemos 9 = .

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS

1. Hallar el término desconocido en 8 – 6 = 4 – x.
2. Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:

   X = 6 + 4 – 8 = 2

   Y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia: 8 – 6 = 4 – 2.

   2) Hallar el término desconocido en 3.4 – x = - 1.

   Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:

   x = 3.4 + 1 - = 4.4 - = = 2

   y sustituyendo el valor de x: 3.4 - 2 = - 1.

3. Hallar el término desconocido en 14 – x = x – 3.04

Aquí el término desconocido es la media diferencial, que es igual a la semisuma de los extremos, luego:

x = = = 8.52

y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia dada:

14 – 8.52 = 8.52 – 3.04

EJERCICIOS

Hallar el término medio proporcional entre:	Solución
50 – 42 = 25 – x	R. 17
16.5 – 8 = x – 2	R. 10.5
45.3 – x = 18 – 0.03	R. 27.33
x – 0.4 = 25 – 0.004	R. 25.396
- = - x	R.
- x = -	R.
8 - = x – 5	R. 13
0.03 – 0.01 = 15 - x	R. 15.38
x - = 6 -	R. 6
8 - x = 5 - 14	R. 17
- 0.36 = x – 4	R. 4.265
x – 14 = 16 -	R. 30
50 – x = x – 14.25	R. 32.13
- x = x -	R.
16 - x = x -	R. 8
5.04 – x = x – 5	R. 5.145

HALLAR EL TÉRMINO MEDIO DIFERENCIAL ENTRE DOS NÚMEROS

EJEMPLO

Hallar la media diferencial entre 8.04 y 4

No hay más que formar una equidiferencia continua cuyo medio diferencial sea x y los extremos los números dados y despejar x;

8.04 – x = x - 4

Despejando x: x = = = 6.02

Y sustituyendo el valor de x: 8.04 – 6.02 = 6.02 – 4

EJERCICIOS

Hallar el término medio diferencial entre:	Resultado
26 y 14	20
18 y 14.04	16.02
25.02 y 0.004	12.512
5.004 y 0.0016	2.5028
y
y
6 y 5	5
14 y	7
100 y 50	75
150 y 20.364	85.182
5 y 0.006	2.803
3.42 y	2.085
8.16 y 5	6.68
16 y	8
50.36 y	25.555
y

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.

Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:

= o a : b :: c : d

y se lee: a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Los términos de una proporción geométrica se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero.

También, según lo visto antes, se llaman antecedentes el primero y el tercer términos, y consecuentes el segundo y cuarto términos.

Así, en la proporción = los extremos son 8 y 5, y los medios 10 y 4; los antecedentes son 8 y 10, y los consecuentes 4 y 5.

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Hay dos clases de proporciones geométricas: Proporción discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5, y proporción continua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS TEOREMA

En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a d = c b.

En efecto: multiplicando ambos miembros de la igualdad = por el producto de un medio y un extremo, b x d, para lo cual basta multiplicar solamente los numeradores, tendremos: =

Y simplificando queda: a x d = c x b que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En la proporción = tenemos que 6 x 2 = 3 x 4 o sea 12 = 12

COROLARIOS

De la propiedad fundamental de las proporciones geométricas se derivan los siguientes corolarios:

1. En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a = .

En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por d, tendremos:

= y simplificando: a = .

EJEMPLO

En = tenemos 9 =

2) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

Sea la proporción

Vamos a demostrar que

En efecto: Ya sabemos que ad = bc.

Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por c tendremos:

Y simplificando: .

EJEMPLO

En tenemos

MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4.

TEOREMA

La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Sea la proporción continua vamos a demostrar que

En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que ac=bb, o sea, ac=b².

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros, tenemos:

Y simplificando: que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En tenemos que .

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

EJEMPLOS

1. Hallar el término desconocido en 8:4::10:x.
2. Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:

   . Sustituyendo el valor de la x en la proporción dada, queda: 8:4::10:5.

3. Hallar el término desconocido en 10:1/6::x:4.
4. Como el término desconocido es un medio y un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido tendremos:

   Sustituyendo el valor de x en la proporción dada queda. 10:1/6::240:4.

5. Hallar el término desconocido en 25:x::x.1/6.

Como el término desconocido es la media proporcional y la media proporcional es la raíz cuadrada del producto de los extremos, tendremos:

Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda:

EJERCICIO

HALLAR EL TÉRMINO MEDIO PROPORCIONAL ENTRE DOS NÚMEROS

EJEMPLO

Hallar el término medio proporcional entre 16 y 81.

No hay más que formar una proporción geométrica continua cuyo medio proporcional sea x y los extremos los números dados y despejar x. 16:x::x:81,

Despejando x: .

Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda: 16:36::36:81.

EJERCICIO

HALLAR UNA CUARTA PROPORCIONAL DE TRES NÚMEROS.

Cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta. Así, en la proporción 8:16::5:10, cualquiera de estos cuatro términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.

EJEMPLO.

Hallar una cuarta proporcional de 20, 1/3 y 2/5.

Se forma una proporción geométrica con estas tres cantidades, poniendo de último extremo x y se despeja el valor de x: 20:1/3::2/5:x.

Despejando x:

Sustituyendo el valor de x: 20:1/3::2/5:1/150.

EJERCICIO

HALLAR UNA TERCERA PROPORCIONAL DE DOS NÚMEROS

Tercera o tercia proporcional es el primero o cuarto término de una proporción geométrica continua. Así, en la proporción 20:10::10:5. 20 es una tercia proporcional de 10 y 5, y 5 es una tercia proporcional de 20 y 10.

EJEMPLO.

Hallar una tercera proporcional entre 1/5 y 6.

Se forma una proporción continua, poniendo de término medio proporcional uno de los números dados y x de último extremo y se despeja x:

1/5:6::6:x.

Despejando x:

Sustituyendo el valor de x: 1/5 : 6 :: 180.

EJERCICIO

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José Carlos Cortés Zavala